Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Mirela Duvnjak. Magični kvadrat.

Transcription

1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Duvnjak Magični kvadrat Završni rad Osijek, 2013.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Duvnjak Magični kvadrat Završni rad Mentor: prof. dr. sc. Antoaneta Klobučar Osijek, 2013.

3 Sažetak Magični kvadrat prvi put se spominje u drevnoj Kini u legendi o Lo Shu, magičnom kvadratu, koji je zapažen na ledima mistične kornjače. Iz Kine se proširio prvo u Japan, pa Indiju, Egipat i dalje. U Europi se magični kvadrat prvi put spominje u 13. stoljeću, a najpoznatiji je magični kvadrat 4. reda s magičnom sumom 34 koji se nalazi na bakrorezu Melancolia I njemačkog umjetnika Albrechta Dürera. Uobičajena definicija magičnog kvadrata: Magični kvadrat stranice duljine n je kvadrat s nizom brojeva 1, 2,...,n 2, takav da je zbroj brojeva u svakom retku, svakom stupcu i u dvije dijagonale uvijek isti. Taj zbroj naziva se magična suma ili magična konstanta. Posebnom tehnikom izrade kao i rotacijom i zrcaljenjem možemo dobiti različite i nove magične kvadrate parnog i neparnog reda. Ključne riječi: magični kvadrat, Lo Shu, magična suma, tehnika izrade, rotacija, zrcaljenje Abstract: Magic square was first mentioned in ancient China in the of Lo Shu magic square legend that was first seen on the back of a mystical turtle. From China it first expended in Japan, then India, Egypt and even further. In Europe it was first mentioned in the 13th century. The most famous is the 4th order magic square with magical sum of 34 that can be found on the engraving Melancolia I of Albrechta Dürera, german artist. The usual definition of magic square is: Magic square with side length n is a square with a series of numbers 1, 2,...,n 2, such that the sum of the numbers in each row, each column and two diagonals is always the same. This sum is called the magic sum or magic constant. By a special technique of making new squares as well as rotation and mirroring we can obtain a variety of new magic squares with even and odd rows. Keywords: magic square, Lo Shu, magical sum, making technique, rotation, mirroring 3

4 Uvod Magični kvadrat je kvadratna tablica u koju upisujemo zadane brojeve tako da u svakom retku, svakom stupcu i na svakoj dijagonali zbroj upisanih brojeva bude jednak. Taj broj nazivamo magičnim brojem ili magičnom sumom. Prema vrsti sadržaja magični kvadrati dijele se na brojevne, slovne i znakovne, a prema rasporedu i načinu čitanja sadržaja na nesimetrične, simetrične i pandijagonalne. Definicija brojevnog magičnog kvadrata uglavnom se ne odnosi na simetričan raspored brojeva u njemu nego na rezultat koji se dobije zbrajanjem svih brojeva u jednom redu, stupcu i dijagonali. Takav kvadrat ne može se sastaviti od bilo kojih brojeva, nego oni moraju činiti odredeni aritmetički niz u kojem je razlika izmedu dva broja u nizu uvijek ista vrijednost. Magični kvadrat reda n je skup n 2 brojeva, obično jedinstvenih cijelih brojeva, u kvadratu, takvih da n brojeva u svim redovima, stupcima i u obje dijagonale ima konstantan zbroj. Normalan magični kvadrat se sastoji od cijelih brojeva od 1 do n 2. Zašto baš magični? Magični kvadrati su otkriveni još u drevnoj Kini. Prema legendi o kineskom caru Yu koji je ugledao kornjaču koja na ledima ima tzv. Lo Shu magični kvadrat. Magični kvadrati su se iz Kine proširili prema Japanu, Indiji, Egiptu, a nešto kasnije i prema Europi. Neobično lijepom rasporedu brojeva ljudi su pripisivali magična svojstva. Vjerovali su da ih magični kvadrat štiti od nesreće, nosili su ga oko vrata, urezivali iznad kućnih pragova i čak ih prepisivali kao lijek protiv bolesti. Otuda im i naziv magični. 4

5 Poglavlje 1 Povijest magičnog kvadrata Pojava i značenje magičnog kvadrata stoljećima je zanimalo matematičare i povjesničare. Iako povjesničari imaju tragove o postojanju magičnih kvadrata tek od 4. stoljeća prije Krista, u Kini postoji legenda od otprilike 650. g. prije Krista. Legenda kaže da je car Yu otkrio magični kvadrat šetajući uz Žutu rijeku (Huang Ho ili Lo) gdje je vidio mističnu kornjaču za koju se smatralo da je spasila grad od silnih poplava (slika 1). Slika 1. Yuova mistična kornjača Mistična kornjača je na svom oklopu imala zagonetno rasporedene točke unutar kvadrata. Proučavajući kornjaču car je otkrio da je zbroj točaka u bilo kojem retku, stupcu i dijagonali uvijek jednak i iznosi 15 (slika 2). 5

6 Povijest magičnog kvadrata 6 Slika 2. Detalj s leda Yuove kornjače Broj 15 je označavao broj dana u svakom od 24 perioda kineske sunčane godine i tako je pomogao ljudima kontrolirati rijeku. Detalj s leda Yuove kornjače prozvan je Lo Shu (Lo-rijeka, Shu-knjiga). Kvadrat Lo Shu je jedinstven pravi magični kvadrat trećeg reda i svaki drugi magični kvadrat trećeg reda možemo dobiti iz ovoga rotacijom ili refleksijom. Magični kvadrati bili su važni u kineskoj numerolgiji, koristili su se kao baza za proricanje budućnosti i horoskop. Iz Kine su se proširili u Japan, Indiju i Egipat. Egipčani i Indijci vjerovali su da ih magični kvadrat štiti od nesreće, nosili su ga oko vrata, urezivali iznad kućnih pragova i čak ih prepisivali kao lijek protiv bolesti. Otuda mu i naziv magični. Starim Egipčanima magični su kvadrati bili simboli reda i kaosa. Kvadrati višeg reda koristili su se u starom Egiptu u astrologiji i predstavljali su planete. Magični kvadrati zainteresirali su i Europljane. Prvi poznati pisac o njima bio je Grk Emanuel Moschopoulus koji je živio oko g. Vjerovao je da je pronašao dvije metode za konstrukciju magičnih kvadrata, no neki matematičari toga vremena smatrali su da je metoda koju je Moschopoulus objasnio možda potekla od Perzijanaca i povezana je s onom koju je iznio Ahmed al-buni. On je g. pokazao kako konstruirati magični kvadrat koristeći jednostavnu rubnu tehniku. Talijan Fra Bartolomeo Luca de Pacioli ( ) matematičar, suradnik Leonarda da Vincija i jedan od prvih tvoraca modernog računovodstva godinam je proučavao magične kvadrate i sakupio je veliki broj primjera. Njemački fizičar, astrolog i katolički teolog Heinrich Cornelius Agrippa oko g. napiso je De Occulta Philosophia osvrčući se na rad Marsilia Ficinoe i Picoa della Mirandola. Konstruirao je kvadrate 3., 4., 5., 6., 7., 8. i 9. reda koje je povezao sa sedam poznatih astroloških planeta: Saturnom, Jupiterom, Marsom, Suncem, Venerom, Merkurom i Mjesecom. Vjerovao je da magični kvadrat prvog reda, odnosno onaj koji ima samo brojku jedan, predstavlja Božju vječnu savršenost. Smatrao je, zajedno sa svojim kolegama, da je tužno otkriće da magični kvadrat drugog reda ne može biti konstruiran dokazom nesavršenosti četiri elemenata: zraka, zemlje, vatre i vode. Drugi su vjerovali da je nepostojanje 2 2 magičnih kvadrata rezultat čovjekovog Istočnog grijeha.

7 Povijest magičnog kvadrata 7 Veliki njemački slikar i kipar Albrecht Dürer ( ) napravio je godine bakrorez Melencolia I (slika 3). Slika 3. Bakrorez Albrechta Dürera i magični kvadrat Rezbarije Albrechta Dürera su enigme, višeslojna umjetnička djela koja pulsiraju drugačije sadržaje, nudeći nekoliko mogućih interpretacija u isto vrijeme. Jedan simbol koji je vrlo jasan i zaokuplja promatračevu pozornost na Melancoliji I je matrica brojeva od 1 do 16 postavljenih na zidu iza andela. Matrica 4 4 naziva se magični kvadrat jer svaki red, svaki stupac i obje dijagonale u zbroju daju isti broj 34. To je takoder i magični kvadrat kojemu sva četiri kvadrata 2 2 imaju zbroj 34, četiri broja u kutevima daju zboj 34, kao i rotacija u desno ili lijevo za jedno mjesto takoder daje zbroj 34. Srednji kvadrat 2 2 ima zbroj 34. Zbroj brojeva 15 i 14 u zadnjem redu te 3 i 2 u prvom redu je 34, kao i zbroj brojeva 5 i 9 u prvom stupcu, te 8 i 12 u zadnjem stupcu, itd. Kako god da se zbroji uvijek se dobije broj 34! Zanimljivo je još da je Dürer u donjem redu magičnog kvadrata, osim godine kada ga je osmislio (1514), dodao i redne brojeve abecede početnih slova svoga imena i prezimena (4=D) i (1=A). Prvi detaljniji rad na temu magičnih kvadrata objavio je francuski matematičar F. Bernard de Bessy godine. On je pokazao da postoji 880 magičnih kvadrata 4. reda i sve ih je ispisao. Magičnim kvadratima bavili su se iz hobija i mnogi uglednici. Jedan od njih je Benjamin Franklin, koji se godine zabavljao konstrukcijom magičnih kvadrata, te je u svojim radovima objavio dva magična kvadrata 8. reda. Zanimljivo je da je najveći ručno izračunati magični kvadrat dimenzije , a izračunao ga je njemac Norbert Behnke. Pojavom računala magični kvadrati više nisu neriješena misterija, iako se još uvijek ne može točno odrediti koliko ih je za svaki n. Pomoću računala pronadeni su sljedeći magični kvadrati: , Richard Suntag (SAD), god.; , Gerolf Lenz (Njemačka), god.; , Christian Schaller (Njemačka), god.; , Ralf Laue (Njemačka), god.; , Louis Caya (Kanada), god.;

8 Poglavlje 2 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata 2.1 Definicija magičnog kvadrata Magični kvadrat je kvadrat stranice n, podjeljen na n 2 jediničnih kvadrata u kojima su upisani prirodni brojevi od 1 do n 2 tako da je zbroj brojeva u svakom stupcu, svakom retku i u obje dijagonale jednak. Broj n naziva se red (ili dimenzija) magičnog kvadrata. Za n = 1, magični kvadrat je trivijalan. Magični kvadrat 2. reda ne postoji, dok magični kvadrat 3. reda ima zbroj u svakom stupcu, svakom retku i u obje dijagonale jednak 15 (slika 4). Slika 4. Magični kvadrat 3. reda 8

9 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata 9 Za magični kvadrat 4. reda zbroj je 34, a za magični kvadrat 5. reda zbroj je 65. Taj zbroj naziva se magična suma ili magična konstanta i računa se po sljedećoj formuli: S(n) = 1 n ( n2 ) = 1 n n 2 k=1 = n(1 + n2 ) 2 k = 1 n 2 (1 + n 2 ) n 2 Ovako definirani kvadrati nazivaju se normalni magični kvadrati. Normalni magični kvadrati su reda n 1, bez reda 2., iako u slučaju reda 1 imamo trivijalni magični kvadrat od jednog polja koji sadrži samo broj 1. Osim normalnih kvadrata danas imamo i opće magične kvadrate. To su kvadrati u kojima su upisani bilo koji prirodni brojevi takvi da je zbroj u svakom retku, svakom stupcu i u objema dijagonalama jednak i tada se magična konstanta ne može izračunati po gornjoj formuli. Na primjer, u magični kvadrat mogu biti posloženi članovi rastućeg aritmetičkog niza. Neka je a njegov prvi član, a d razlika izmedu svakih dvaju članova, tada ćemo magičnu konstantu računati na sljedeći način: S(n; a, d) = 1 2 n[2a + d(n2 1)] Normalni i opći magični kvadrati sastoje se od brojeva, ali postoje i kvadrati u koje su postavljena slova i njih nazivamo riječni kvadrati. To je vrsta zagonetke koja se sastoji u tome da se polja kvadratnog dijagrama popunjavaju slovima ili slogovima tako da u vodoravnim i uspravnim nizovima nastaju uvijek iste riječi.

10 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata Svojstva magičnog kvadrata Razni magični kvadrati imaju različita zanimljiva svojstva. Magični kvadrati mogu biti: simetrični ultramagični pandijagonalni savršeni bimagični koncentrični... Svaki par centralno simetričnih elemenata kvadrata koji u zbroju daje n 2 +1, naziva se simetrični magični kvadrat. Lo Shu magični kvadrat je simetričan, odnosno broju 8 centralno je simetričan broj 2, broju 1 broj 9 itd. Ako se svaki broj u normalnom magičnom kvadratu oduzme od n 2 + 1, dobije se novi magični kvadrat koji se naziva komplement polaznog magičnog kvadrata. Ako je komplement magičnog kvadrata jednak polaznom tj. pripada istoj grupi s obzirom na rotaciju i refleksiju, kaže se da je polazni magični kvadrat samo-komplementan. Ako je pri tome još i simetričan, tada se kaže da je ultra-magičan. Ako je zbroj na svim dijagonalama konstantan, uključujući i zbroj članova na sporednim, izlomljenim dijagonalama, zove se pandijagonalan magični kvadrat. Pandijagonalan magični kvadrat 5. reda na svakoj od 8 rastućih i 8 padajućih izlomljenih dijagonala ima zbroj jednak kao i na glavnim dijagonalama i on iznosi 65. Ako je red magičnog kvadrata dvostruko paran, odnosno n = 4k, ako je zbroj elemenata u svaka 2 2 podkvadrata jednak 2(n 2 + 1) i ako svaki dijagonalan par brojeva medusobno udaljen n mjesta u zbroju daje 2 2(n2 + 1), kažemo da je magični kvadrat savršen. Ako u magičnom kvadratu svaki njego član n i kvadriramo i kao rezultat dobijemo novi magični kvadrat, kažemo da je on biomagičan. Ako je kvadrat magičan za n i, n 2 i, n 3 i,..., tada imamo triomagičan, tj. multimagičan kvadrat. Kvadrat reda m n je složen ako se može razbiti na m 2 magičnih podkvadrata reda n, odnosno to je magični kvadrat koji u sebi skriva podkvadrate koji su sami za sebe opet magični. Magični kvadrat je koncentričan ili obrubljen ako nakon brisanja gornjeg i donjeg reda, te lijevog i desnog stupca dobijemo opet magični kvadrat. Drugi uvjet je da svi brojevi na rubu budu iz skupa (1, 2,..., 2n 2) i (n 2 2n + 3,..., n 2 ) (slika 5).

11 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata 11 Slika 5. Koncentričan magični kvadrat Uočite na slici 5. unutarnji magični kvadrat 4. reda kojeg okružuje 10 malih brojeva izmedu 1 i 10 koje smo dobili iz skupa (1, 2,..., 2n 2) i 10 velikih brojeva izmedu 27 i 36 koje smo dobili iz (n 2 2n + 3,..., n 2 ). 2.3 Konstrukcija magičnog kvadrata Pri sastavljanju kvadrata koriste se dva niza brojeva. Prvi niz je 1, 2,..., n, a drugi niz je 0, n, 2n,..., n(n 1). Razlikujemo sljedeća četiri slučaja: n je neparan i djeljiv s 3 n je neparan i nije djeljiv s 3 n je djeljiv s 4 n je paran i nije djeljiv s 4 Primjeri će biti pokazani na magičnim kvadratima reda 3, 5, 4 i 6. Neparan red djeljiv s 3 Postupak za rješavanje ovog problema možemo poopćiti na proizvoljni kvadrat 3 3. Kvadrat 3. reda podjelimo na 9 jednakih kvadrata, te u svaki upišemo brojeve od 1 do 9 na način da je zbroj brojeva u svakom redu, stupcu i dijagonali bude jednak 15. Ako na središnju poziciju kvadrata stavimo broj 9, onda nam suma preostala dva broja mora biti 6. Izbor ta dva broja trebao bi se postići medusobno različitim brojevima na četiri različita načina. U ovom slučaju s devetkom u sredini moguća su samo dva načina: 1+5 i 2+4. Stoga možemo zaključiti kako broj 9 ne može biti na središnjem mjestu. Analogno, zaključujemo kako ni broj 8 ne može biti na središnjem mjestu jer bi suma prostala dva broja trebala iznositi 7, a to se može postići samo na tri načina: 1+6, 2+5 i 3+4. Broj 7 takoder ne može stajati na središnjoj poziciji jer suma preostala dva broja mora biti 8, a to se može postići samo na dva načina: 2+6 i 3+5. Isto tako ni broj 6 ne može stajati na središnjem mjestu jer suma preostala dva broja

12 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata 12 mora iznositi 9, a to je moguće samo na tri načina: 1+8, 3+6 i 4+5. Središnju poziciju ne može zauzimati ni broj 4 jer suma preostala dva broja treba biti 11, a to je opet moguće samo na tri načina: 2+9, 3+8 i 5+6. Broj 3 takoder nije kandidat za središnje mjesto jer suma preostala dva broja mora biti 12, a to je moguće samo na dva načina: 4+8 i 5+7. Niti broj dva nije kandidat za centralnu poziciju jer zbroj ostala dva broja mora biti 13, a to može opet samo na tri načina: 4+9, 5+8 i 6+7. Idealan kandidat za centralnu poziciju nije ni broj 1 jer suma brojeva mora biti 14, a to je moguće samo na dva načina: 5+9 i 6+8. Iz toga možemo zaključiti da je idealan kandidat za centralnu poziciju broj 5. Provedenom analizom utvrdeno je kako se parni brojevi (2, 4, 6 i 8) pojavljuju u tri različite sume, pa ih možemo postaviti u uglove kvadrata, dok se neparni brojevi (1, 3, 5 i 9) pojavljuju u samo dvije različite sume, te ih možemo postaviti na sredine stranica kvadrata. Popunjavanje kvadrata tada provodimo na slijedeći način: 1. Broj 5 stavimo na središnju poziciju, a proizvoljni element iz skupa 2, 4, 6, 8 u jedan od kuteva. 2. Potom s drugim odgovarajućim brojevima iz navedenog skupa popunjavamo preostale kutove, pazeći pritom da je suma uvijek Nakon toga elementima iz skupa 1, 3, 7, 9 popunjavamo prazna mjesta u redovima (odnosno stupcima) pazeći da je suma uvijek 15. Budući da prvi kutni broj možemo odabrati na četiri načina, njegov dijagonalni element samo na jedan način, a ostala dva kutna elementa na dva simetrična načina, možemo zaključiti kako postoji osam načina za upisivanje ovih brojeva u magični kvadrat tako da zadovoljavaju tražene uvjete. Rotacijom oko središta kvadrata ili simetrijom u odnosu na jednu od četiri osi simetrije kvadrata možemo dobiti sve kombinacije. Od jednog magičnog kvadrata možemo napraviti puno magičnih kvadrata množeći sve brojeve u njemu istim brojem. Ako devet brojeva tvori aritmetički niz (razlika izmedu bilo kojeg člana i njegova prethodnika stalan je broj) od njih takoder možemo napraviti magični kvadrat. Prvi član niza označimo s I, drugi s II, i tako redom, problem se svodi na problem magičnog kvadrata s brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. I u ovom slučaju takoder postoji osam različitih načina za njegovo popunjavanje. Opisan je najlakši problem magičnog kvadrata, te će u daljnjem tekstu biti prikazan teži problem koji je interesantniji ukoliko je magični kvadrat višeg reda. Neparan red i nije djeljiv s 3 Prilikom sastavljanja magičnog kvadrat 5. reda tvorimo dva niza brojeva. To su 1, 2, 3, 4, 5 i 0, 5, 10, 15, 20. Sada tvorimo dva pomoćna magična kvadrata petog reda. U prvi red prvog kvadrata upišemo prvih pet prirodnih brojeva u bilo kojem poretku. Tada u drugi red pišemo iste brojve, ali počinjući s brojem koji se nalazi iza srednjeg broja u prvom redu. Jednako tako postupimo i za treći, četvrti i zadnji red. Tako dobivamo magični kvadrat čija je suma jednaka 15. Nakon toga u prvi red drugog kvadrata

13 Definicija i tehnike izrade magic nog kvadrata 13 upis emo brojeve iz niza 0, 5, 10, 15, 20 takoder u bilo kojem poretku. Drugi kvadrat popunjavamo isto kao i prvi samo s to poc injemo od srednjeg elementa. Na taj nac in dobivamo drugi pomoc ni kvadrat c ija je suma jednaka 50. U trec i kvadrat upisujemo sumu odgovarajuc ih polja dva pomoc na kvadrata te dobivamo magic ni kvadrat 5. reda (slika 6). Slika 6. Konstrukcija magic nog kvadrata 5. reda Paran red djeljiv s 4 Jedan od nac ina konstruiranja magic nih kvadrata parnog reda djeljivog s c etiri je taj da u prvi red prvog kvadrata upis emo brojeve 1, 2, 3 i 4, ali tako da zbroj prvog i zadnjeg broja bude jednak zbroju dva slijedec a broja. U drugi red kvadrata upis emo iste brojeve, ali u obrnutom poretku. Druga polovina kvadrata simetric na je prvoj s obzirom na duz inu koja ih razdvaja. Brojeve drugog niza 0, 4, 8 i 12 slic nim postupkom upisujemo u drugi kvadrat, samo s to ih rasporedujemo po stupcima umjesto po retcima. Zbrajanjem ova dva kvadrata dobijemo magic ni kvadrat 4. reda (slika 7). Slika 7. Konstrukcija magic nog kvadrata 4. reda

14 Definicija i tehnike izrade magic nog kvadrata 14 Paran red i nije djeljiv s 4 Sastavimo li kvadrat istim postupkom kao da je red djeljiv s 4, no elemente na dijagonalama treba ostaviti na svojim mjestima. Zatim treba primijeniti: 1. U prvom retku treba zamijeniti drugi element s drugim od kraja, trec i s trec im od kraja i tako sve dok ne zamijenimo i srednje elemente, te isti postupak primijenimo i na prvi stupac. 2. Zamijenimo srednje elemente u drugom i zadnjem retku te drugom i zadnjem stupcu. 3. Zamijenimo i rubne elemente u srednjem redu (bilo kojem) i srednjem stupcu (bilo kojem). Pomoc u ovih transformacija dobijemo magic ni kvadrat 6. reda (slika 8). Slika 8. Konstrukcija magic nog kvadrata 6. reda

15 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata Operacije s magičnim kvadratom Magični kvadrat ima svojstvo rotacije i simetrije. Možemo ga rotirati za 90, 180 i 270 stupnjeva i njegove elemente možemo zrcalno preslikati oko bilo koje od četiri osi simetrije. Za rezulata ćemo dobiti magični kvadrat u kojem su isti brojevi poredani drugačijim redom. Kompozicijom ovih dviju operacija ponovno možemo dobiti magični kvadrat s istim elementima. Stoga se kod prebrojavanja magičnih kvadrata ne broje oni koji se dobiju rotacijom i/ili refleksijom nekog magičnog kvadrata. Za primjer rotacije i simetrije promotrit ćemo poznati magični kvadrat 3. reda Lo Shu (slika 9). Slika 9. Lo Shu magični kvadrat 3. reda Ako na ovaj magični kvadrat primjenimo svojstvo simetrije dobit ćemo nove magične kvadrate (sika 10). Na slici vidimo samo četiri osi simetrije i to nisu sve osi simetrije koje će očuvati magičnost kvadrata, ima ih još. Pomoću ovog primjera pokazali smo kako je simetrična slika magičnog kvadrata opet magični kvadrat. Slika 10. Simetrija magičnih kvadrata Rotacijom magičnog kvadrata Lo Shu za 90, 180 i 270 stupnjeva dobivamo tri nova magična kvadrata 3. reda, dok naravno rotacijom za 360 stupnjeva dobivamo isti početni magični kvadrat (slika 11). Slika 11. Rotacija magičnih kvadrata

16 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata 16 Rotaciju i zrcaljenje magičnog kvadrata možemo izvoditi jedno za drugim. Izvodenjem ta dva svojstva zajedno čini nam se kako dobivamo mnogo novih kvadrata, no to baš i nije tako. Zrcaljenjem pa rotacijom Lo Shu magičnog kvadrata dobivamo nove kvadrate (slika 12), ali zanimljivo je da se svi dobiveni magični kvadrati mogu dobiti samo zrcaljenjem. Slične rezultate dobijemo ako prvo rotiramo, pa zrcalimo kvadrat (slika 13). Primjetimo da redoslijed operacija ipak ima veliku ulogu, te će stvoriti različite kvadrate. Na primjer, zrcaljenje u odnosu na vodoravnu os i rotacija za 90 stupnjeva stvorit će različiti magični kvadrat od onog nastalog rotacijom za 90 stupnjeva pa zrcaljenjem. Kombinacijom rotacije i zrcaljenja nismo dobili više od osam različitih magičnih kvadrata i to se u matematici zove zatvorena grupa transformacija. Slika 12. Zrcaljenje i rotacija magičnih kvadrata Slika 13. Rotacija i zrcaljenje magičnih kvadrata

17 Definicija i tehnike izrade magičnog kvadrata 17 Ipak, od svakog magičnog kvadrata možemo dobiti novi magični kvadrat i to koristeći neka od ovih pravila: 1. Ako svim članovima magičnog kvadrata dodamo (ili oduzmemo) isti broj, ponovno dobivamo magični kvadrat. Primjerice, imamo magični kvadrat 5 5, magične konstante 65, u kojemu su smješteni prirodni brojevi od 1 do 25. Dodavanjem broja 6 dobivamo magični kvadrat magične konstante 95 (slika 14). Slika 14. Dodavanje člana magičnom kvadratu 2. Ako sve članove magičnog kvadrata s magičnom konstantom S pomnožimo istim brojem k, dobit ćemo magični kvadrat s magičnom konstantom k S. Primjerice, imamo magični kvadrat magične konstante 34. Množenjem svakog člana magičnog kvadrata brojem tri dobivamo novi magični kvadrat magične konstante 102 (slika 15). Slika 15. Množenje magičnog kvadrata istim brojem 3. Ako sve članove magičnog kvadrata pomnožimo nekim faktorom i dodamo neku konstantu, dobivamo novi magični kvadrat. 4. Zbroj (ili razlika) dvaju magičnih kvadrata istog reda opet je magični kvadrat. Zbrajaju (ili oduzimaju) se članovi na istim odgovarajućim mjestima. Primjerice, imamo razliku magičnih kvadrata 3 3, magičnih konstanti 42 i 15. Razlika ima magičnu konstantu 27 (slika 16). Slika 16. Razlika magičnih kvadrata

18 Bibliografija [1] D. E. Smith: History of Mathematics Volume II; Special Topics of Elementary Mathemics, Dover Publications Inc., New York, [2] A. Klobučar: Magični kvadrat; Matka 4, br. 16, Osijek, 1995./1996., [3] J. Delač Klepac: Magični kvadrati; Matka 11, br. 42, Zagreb, 2002./2003., [4] T. Debelec, S. Gračan: Magični kvadrati-čarolija u brojevima; Matematika i škola, godina VI., br. 26, Zagreb, 2004., [5] [6] 18